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(max. 40 kg)

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Thema: Genauigkeit bei Antriebssystemen

Zusammenfassung

Einer der fundmentalsten Leistungscharakteristiken eines Antriebssystems ist die Qualität der ausgeführten Bewegung. Dahinter „verstecken sich“ verschiedene Aspekte des korrekten Positionierens des zu bewegenden Objektes: wie Genauigkeit, Wiederholgenauigkeit, Positionierfehler u.a. In der Praxis kommt oft zu Frustration und Missverständnissen wegen der nicht eindeutigen bzw. verwirrenden Bedeutung dieser Begriffe. Werden die Anforderungen an ein Bewegungssystem nicht korrekt spezifiziert, sind häufig erhöhte Kosten oder enttäuschende Ergebnisse die Folge. Zweck des folgenden Artikels ist die Klärung einiger theoretischen Fragen, die Definition der Terminologie und die Erörterung der Einflüsse auf Antriebssysteme. Lesen Sie diesen Artikel, um ein tieferes Verständnis der Zusammenhänge zu erlangen und sicher Ihre Anforderungen für Ihre konkrete Anwendung formulieren zu können.

Inhalt

Einleitende Notizen

Die Qualität der Bewegung eines Positionierungssystem wird aufgrund seiner Positioniergenauigkeit, Wiederholgenauigkeit und Winkelabweichung beurteilt. Das kritischste Element eines Systems in Bezug auf die Genauigkeit ist die Antriebsart. Für die Wandlung der Drehbewegung des Motors in die lineare Bewegung des Schlittens in einem Antriebssystem werden Spindeln (mit Kugelgewinde- oder Trapezgewindetrieb) oder Zahnriemenantriebe eingesetzt. Außer dem Antrieb sind die Lagerung und das Profil der Lineareinheit eine weitere Quelle von Genauigkeitsfehlern. Als deren Folge entstehen Winkelabweichungen, die die Genauigkeit des Gesamtsystems negativ beeinflussen. Die Ungenauigkeiten in einem Antriebssystem kann man auf folgende Ursachen zurückführen:

Kinematische Fehler
Kinematische Fehler der Positionierung über eine Spindel entstehen im Wesentlichen durch Steigungsfehler der Gewindespindel. Sie wirken sich direkt auf das Messergebnis aus.

Umkehrspiel
Umkehrfehler treten beim Positionieren aus unterschiedlichen Richtungen auf. Ihre Ursachen sind Losen und Elastizitäten in Verbindung mit Reibungskräften. Aber auch der sogenannte Steigungsverlust infolge einer Verlagerung der Kugeln beim Anfahren von Kugelgewindetrieben mit Zwei-Punkt-Vorspannung kann zu Umkehrfehlern in der Größenordnung von 1 bis 10 µm führen.

Verformung der Vorschubmechanik durch Kräfte
Kräfte, die zur Verformung der Vorschubmechanik führen, sind im Wesentlichen Massenkräfte beim Beschleunigen des Schlittens, Prozesskräfte (wenn vorhanden) und Reibungskräfte in den Führungen. Sie bewirken eine Verschiebung der tatsächlichen Achsschlitten-Position gegenüber der Soll-Position.

Beschleunigungskräfte
In Verbindung mit einer typischen Schlittenmasse und einer moderaten Beschleunigung von 2 m/s² ergeben sich Verformungen von 5 bis 10 µm, die vom Spindel/Drehgeber-System nicht erkannt werden können. Bei Beschleunigungen in höhere Bereiche werden hier zunehmend große Verformungen auftreten.

Reibungskräfte
Die Reibungskräfte in den Führungen liegen je nach Art der Lagerung zwischen 1 % bis 2 % der Normalkraft bei Rollenführungen und 3 % bis 12 % der Normalkraft bei Gleitführungen. Mit einer Normalkraft von 500 N ergeben sich somit nur geringe Verformungen der Vorschubmechanik, die vernachlässigbar sind.

Reibung in der Spindelmutter
In der Kugelgewindemutter wird in der Regel der größte Teil der Reibung eines Vorschubsystems erzeugt. Die Ursache hierfür liegt in der komplexen Kinematik einer Kugelgewindemutter. Entgegen der auf den ersten Blick rollenden Bewegung der Kugeln tritt in Kugelgewindetrieben ein erheblicher Anteil an Gleitreibung auf. Neben dem Mikroschlupf infolge von Relativbewegungen in den eingedrückten Kontaktbereichen tritt vor allem Makroschlupf infolge kinematischer Zwangsbedingungen auf. Die Kugeln sind in den Gewindegängen nicht vollständig geführt und taumeln deshalb wie „Tennisbälle in einer Regenrinne". Ein ständiges Drängeln und Schieben mit zeitweisem Rutschen der Kugeln ist die Folge. Die Reibung zwischen den Kugeln ist durch die hohe Flächenpressung infolge des fehlenden Trennkäfigs beträchtlich. Wie in jedem Schrägkugellager tritt Bohrreibung wegen des nicht orthogonal zur Drehachse der Kugeln stehenden Berührungsdurchmessers auf. Jede Kugel dreht sich deshalb um den Berührungsdurchmesser. Neuere Untersuchungen haben zudem gezeigt, dass die Bewegung der Kugeln im Gewinde nur durch einen von der Gewindesteigung verursachten zusätzlichen Gleitanteil möglich ist. Das Rückführsystem ist eine besondere Problemzone von Kugelgewindetrieben. Bei jedem Eintritt in das Rückführsystem wird ebenso wie beim Austritt die Bewegung der Kugel vollständig verändert. Unter anderem muss die Rotationsenergie der Kugel, jeweils auf- und abgebaut werden. Im Gegensatz zum vorgespannten Gewindebereich stehen die Kugeln in der Rückführung nicht unter Vorspannung. Aus energetischen Gründen ist das Rückführsystem deshalb ein bevorzugter Aufenthaltsort für die Kugeln. Ohne trickreiche Maßnahmen zum Wiedereinführen der Kugeln in das Gewinde am Ende des Rückführsystems entsteht ein Stau im Rückführsystem, der zum bekannten Klemmen des Kugelgewindetriebs führen kann.



Abb.1 Problemzonen bei Kugelgewindespindel

Fehlerbeurteilung

Grundbegriffe:
Die Messung einer physikalischen Größe bedeutet, experimentell für diese Größe den Messwert mit einer gegebenen Einheit zu ermitteln. Den genauen (wahren) Wert einer Messung kann man nicht ermitteln, denn keine Messung ist frei von Fehlern. Solche sind:

Typ des Fehlers Grund
Instrumentelle Fehler falsche Kalibrierung
personenbedingte Fehler falsches Ablesen, Störungen
methodische Fehler ungeeignete Messverfahren


Dabei unterscheidet man zwischen systematischen und statistischen Fehler.

Ein systematischer Fehler liegt vor, wenn bei jeder Messung unter denselben Bedingungen das Ergebnis in derselben Richtung um denselben Betrag vom richtigen Wert abweicht. Man bemerkt einen systematischen Fehler nur bei bekanntem wahren Wert. Ein typischer systematischer Fehler ist der Eichfehler eines Messgerätes.

Soweit man die systematischen Fehler erkannt und in den durch Größtfehleraddition berechneten Fehlergrenzen berücksichtigt hat, liegt der wahre Wert der Messgröße (ohne Berücksichtigung der statistischen Fehler) zwischen E - ΔE und E + ΔE.

Bei dem statistischen Fehler wird bei Wiederholung einer Messung derselben Messgröße unter scheinbar unveränderten Bedingungen nicht jedes Mal derselbe Wert anzeigen. Dieses kann man auf unterschiedliche Gründe zurückführen: z.B. Reibung, nicht optimale Lagerung etc.

Wenn man die Messung mehrfach wiederholt, kann man den Mittelwert genauer angeben. Man nimmt an, dass bei schwankenden Ergebnissen der Mittelwert dem wahren Wert am nächsten kommt.

Die vielen Ursachen für statistische Fehler direkt gemessener Größen wirken zusammen und liefern von Messung zu Messung unterschiedliche Ergebnisse. Den Mittelwert kann man um so genauer ermitteln, je häufiger man die Messung wiederholt. Aus einer solchen Messreihe wird nicht nur der (arithmetische) Mittelwert, sondern auch ein Maß für seine Zuverlässigkeit, die Standardabweichung des Mittelwertes, gewonnen.

Die Beurteilung des statistischen Fehlers erfolgt anhand der Größen „Mittelwert", „Standardabweichung" und „Vertrauensgrenzen".

Der Mittelwert
Den Mittelwert aus einer Messreihe mit n Messwerten xi erhält man mit folgender Formel

 

Gleichung 1

 

Der aus einer endlichen Anzahl Messergebnisse so berechnete Mittelwert nähert sich dem wahren Mittelwert µ für eine immer größere Anzahl n an Messresultaten beliebig gut an.

 

Gleichung 2

 

Ist der wahre Wert bekannt, so kann der Zufallsfehler Er einer endlichen Messreihe als Differenz quantifiziert werden.

Da in der Praxis immer eine kleine, endliche Anzahl an Messungen vorliegt und der wahre Wert unbekannt ist, wird normalerweise mit gerechnet.

 

Standardabweichung
Die Standardabweichung dient als Maß für die Variabilität der Messgröße. Jeder individuelle Messwert xi weicht um einen zufälligen Betrag von Mittelwert ab. Das Ausmaß, in dem alle n Messwerte um den Mittelwert herum streuen, lässt sich als Standardabweichung s definieren. Die Standardabweichung s einer Messreihe mit n Messwerten berechnet sich als Wurzel der durch (n-1) dividierten, quadrierten Einzelabweichungen. Sie hat dieselbe Einheit wie die Messwerte.

 

Gleichung 3

 

Eine andere Größe, die manchmal genutzt wird, ist die relative Standardabweichung Sr. Sie ist mit folgender Formel zu berechnen:

 

Gleichung 4

 

Normalverteilung
Bei einer großen Anzahl von Messungen treten bestimmte Messwerte sehr häufig und andere wiederum sehr selten auf. Im Normalfall treten mittlere Messwerte am häufigsten und extreme Messwerte am seltensten auf. Trägt man in einem Koordinatensystem auf der Abszisse (x-Achse) die Messzahlen ein und auf der Ordinate (y-Achse) die Häufigkeit, so häufen sich im Normalfall die Messwerte im mittleren Bereich und nehmen mit Entfernung vom Mittelwert symmetrisch ab. Es entsteht eine glockenförmige Kurve, die eingipfelig und symmetrisch verläuft.

Die zufallsbedingte Streuung einer Messreihe folgt in vielen Fällen dieser so genannten Normalverteilung. Sie ist stetig, symmetrisch und definiert durch den Mittelwert µ und die Standardabweichung σ . Messreihen mit endlichem n erlauben keine präzise Bestimmung von µ und σ , deshalb verwendet man und s an ihrer Stelle.


Abb.2 Normalverteilung

Fehlerfortpflanzungsrechnung
Der Wert einer bei einem Experiment zu ermittelnden physikalischen Größe kann in den meisten Fällen nicht direkt gemessen werden, weil dafür kein Messgerät existiert oder verfügbar ist. Man muss die Werte mehrerer Größen messen, aus denen sich dann durch Einsetzen in eine physikalische Formel der Wert der gesuchten Größe ergibt. Dieses Verfahren ist auch als indirekte Messung bekannt.
Wenn das Messergebnis eine Funktion mehrerer Messgrößen ist, verwendet man die Regeln der Fehlerfortpflanzungsrechnung. Bei der Berechnung werden systematische und zufällige Fehler unterschieden.

Systematischer Fehler:
Die systematischen Fehler können einander kompensieren. Wenige systematische Fehler können das Ergebnis in die selbe Richtung verändern. Dieser Fall ist sogar recht wahrscheinlich. Man rechnet deshalb meistens nicht mit einer teilweisen Kompensation und verwendet für die Fehlerfortpflanzung die Größtfehleraddition, das totale Differential mit betragsweiser Addition. Der systematische Fehler Δy einer Funktion y = F (x1... xn) wird mit folgender Formel berechnet:

Gleichung 5

Statistischer Fehler:
Weil statistische Fehler mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen Wert verkleinern oder vergrößern, d.h. verschiedene in das Ergebnis eingehende statistische Fehler einander teilweise kompensieren, verwendet man eine Formel, die diesen Kompensationseffekt berücksichtigt. Sind unter Annahme einer Normalverteilung der Messwerte die Standardabweichungen s1...sn der voneinander unabhängigen Messgrößen x1...xn bekannt, so berechnet man die Standardabweichung des Messergebnisses folgendermaßen:

Gleichung 6
Messergebnis y = F (x1…xj…xn)

Genauigkeit des Antriebsystems:

Bei der Beurteilung der Genauigkeit von Antriebssystemen sind folgende Begriffe von Bedeutung:

Parameter Definition Wirkungsfaktor
Positioniergenauigkeit Die maximale Abweichung zwischen Ist- und Soll-Position Genauigkeit der Lineareinheit,
des Getriebes, des Motors
Spindelfehler, Systemspiel
Wiederholgenauigkeit Das Vermögen des Systems zum Anfahren einer Position von einer und derselben Richtung Wiederholgenauigkeit der Lineareinheit bzw. des Motors, Reibung
Auflösung Das kleinste erreichbare Positionierungsinkrement Winkelauflösung des Motors,
Getriebeübersetzung,
Spindelsteigung
Umkehrspiel „Toter Raum" zwischen den bewegten Teilen Verschleiß
Lose zwischen den bewegten Teilen

 

Absolutgenauigkeit
Die Absolutgenauigkeit gibt die Abweichung zwischen einer erwarteten Soll-Position und dem Mittelwert der Ist-Position an, die sich beim Anfahren der Soll-Position aus unterschiedlichen Richtungen (multidirektional) ergibt. Der Begriff „absolut" drückt den Bezug der Kenngröße auf das Basis-Koordinatensystem des Systems aus. Die Absolutgenauigkeit wird definiert als Differenz zwischen der Soll-Position und der Ist-Position des Positionierungssystems. Sie wird durch den Mittelwert der Streuung plus der Streuungsbreite beschrieben.

Gleichung 7
G = ΔP ± R
Wo: ΔP ist der Abstand zwischen der Soll-Position und dem Mittelwert der Streuung
R ist die Streuungsbreite.

Wiederholgenauigkeit
Die Wiederholgenauigkeit gibt an, wie genau ein Antriebsystem bei Anfahren einer Position aus der selben Richtung (unidirektional) positioniert und ist als die durchschnittliche Abweichung zwischen der Ist- und Soll-Position zu bewerten. Die Wiederholgenauigkeit kann ohne die genaue Lage zum Basis-Koordinatensystem gemessen werden, da keine Soll-Position als Vergleich herangezogen werden muss. Neben dieser unidirektionalen Wiederholgenauigkeit wird in Spezialfällen auch die bidirektional Wiederholgenauigkeit beschrieben, bei der eine Position aus beiden Richtungen (bidirektional) angefahren wird.

Die Wiederholgenauigkeit ist die wichtigste Maß für die Beurteilung eines Positionierungssystems. Sie definiert die Streuung um den Mittelwert bei einer großen Anzahl von Positionierungen. Die Streuung der Positionen wird durch die Gaussche oder „normale" Verteilung dargestellt. Die Standardabweichung σ ist das gebräuchlichste Maß für die Angabe der Streuung einer solchen Verteilung. Die Wiederholgenauigkeit ist definiert durch 3 Standardabweichungen, s. g. 3σ-Punkten mit 99,74% Wahrscheinlichkeit (nach ISO -Definition).


Abb. 3

Die Normen, die die Genauigkeit eines Antriebsystems behandeln, sind:

  • ISO 230-2;
  • ASME B5.54

Beurteilung der Positionierungsfehler in einem Antriebsystem

Die Beurteilung des Positionierungsfehlers ist eine komplexe Aufgabe und steht im engen Zusammenhang mit der Struktur des Systems. Die Beurteilung der Genauigkeit soll aufgrund eines Beispiels erläutert werden.
In dem Beispiel betrachten wir ein 3-Achsen Positionierungssystem (s. Abb. 4). Die Wirkung aller Systemfehler konzentriert sich auf einen Punkt der „innersten" Achse. Dieser System-Wirkungspunkt (Tool Center Point, TCP) trägt die Last bzw. das Werkzeug (z. B. bei einer Werkzeugmaschine). Der Gesamtfehler, an dem System-Wirkungspunkt kann in die Komponenten eines Raumvektors (x, y, z) zerlegt werden. Für das Beispiel nehmen wir an, dass der System-Wirkungspunkt sich am Ende der Z-Achse befindet. Die Komponenten des Raumvektors bestehen aus:

  • Fehler in Richtung der X-Achse
  • Fehler in Richtung der Y-Achse
  • Fehler in Richtung der Z-Achse

Jeder dieser Fehler hat einen statischen und einen dynamischen Anteil.


Abb. 4 Beispiel für Berechnung der Genauigkeit eines Systems

Statischer Anteil der Fehlerkomponente

  1. Beurteilung des statischen Fehlers in Richtung der X-Achse
    • Man schätzt das mögliche „Drehspiel" der Y-Achse ab. Die beiden Schlitten der die x-Achse bewegen sich nicht absolut synchron. Als Folge entstehet eine „Abweichung" der Y-Achse, die zum Fehler in Richtung der X-Achse beiträgt. Dieser Fehler kann mit Hilfe von ähnlichen Dreiecken berechnet werden.
    • Der Positionierungsfehler in der Richtung der X-Achse ist die Summe des Positionierungsfehlers des Antriebs zuzüglich des Fehlers infolge des „Drehspiels" der Y-Achse.
    • Theoretisch existiert noch ein Fehler, der auf die Abweichung aus vertikalen Lage der Z-Achse zurückzuführen ist. Entsprechend trägt dieser Fehler zur Fehlerkomponente in X- und Y-Richtung bei. Der Fehler ist vernachlässigbar klein und wird in der Praxis nicht berücksichtigt.
    • Der statische Gesamtfehler in Richtung der X-Achse ist deswegen gleich der Summe des Positionierfehlers der Lineareinheit, die als X-Achse verwendet wird, und des Fehlers aus dem „Drehspiel" der Y-Achse.
  2. Beurteilung des statischen Fehlers in Richtung der Y-Achse
    • Der statische Gesamtfehler in Richtung der Y-Achse ist der Positionierfehler der Lineareinheit, die als Y-Achse verwendet wird.
  3. Beurteilung des statischen Fehlers in Richtung der Z-Achse
    • Die statischen Gesamtfehler in Richtung der Z-Achse besteht aus folgenden Komponenten:
      Positionierfehler der Lineareinheit, die als Z-Achse verwendet wird
      maximale Durchbiegung der X-Achse
      maximale Durchbiegung der Y-Achse
      Die Durchbiegung ist sowohl eine Funktion der Geometrie, des Typs und des Werkstoffes der Lineareinheit als auch der Position der Belastung. Eine gute Näherung für die Durchbiegung mit folgender Formel berechnet werden:
Gleichung 8 Gleichung 9
Abb. 5

wo
F - Kraft [N]
L - Stützweite [m]
E - Elastizitätmodul [N/mm²]
I - Flächenträgheitsmoment [cm4 ]

Dynamischer Anteil der Fehlerkomponente
Bei kurzen Arbeitszyklen ist die Erholungszeit des Systems kurz. Es können deshalb auch Genauigkeitsfehler auftreten, die auf die Trägheitskräfte zurückzuführen sind. Diese können berücksichtigt werden, indem die Durchbiegung aus der komplexen Wirkung der statischen Kräfte und der Trägheitskräfte berechnet wird.

Allgemeine Methodik zur Beurteilung der Positionierbarkeit von Linearmodulen

Es werden 9 Messreihen für jede Lineareinheit durchgeführt. Das Zeitintervall zwischen zwei Messungen ist eine Stunde. Jede Messreihe besteht aus 10 (oder >10) nacheinander folgenden Positionsmessungen in 3 Positionen: 1/5, 1/2 und 4/5 der Verfahrlänge. Dabei werden die Werte für die folgenden Größen bestimmt:

  1. Mittlere Abweichung des Positionsfehlers: der Mittelwert aus der Abweichungen bei jeden von der 10 Positionsmessungen - Mi
  2. Streuungsfeld: +/- 3 mal mittlere quadratische Abweichung von 10 Positionsmessungen.
  3. Die maximale und minimale mittlere Abweichung: Mi min; Mi max für jede der drei Positionen.
  4. Mittlere quadratische Abweichung aus den 90 Positionsmessungen für jede der drei angefahrenen Positionen.
  5. Es wird folgende Graphik für jede der drei angefahrenen Positionen zusammengestellt:
    Abb. 6
  6. Die größte und die kleinste Abweichung für jede Messreihe wird ermittelt:
    max M = Mi max + 3S²q ; min M = Mi min - 3S²q
    Das maximale Streufeld für jede Position ist die Differenz zwischen max. M und min. M.
  7. Der maximale Positionierungsfehler (Absolutgenauigkeit) ist
    max abs (max M, min M).